\begin{subsection}{Serie de Ramanujan}
	\begin{equation*}
		\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)! \, (1103 + 26390 n)}{(n!)^4 \, 396^{4n}}
    \end{equation*}
	
	\pa
	
	Definimos primero el error de un término de la sumatoria de la serie de Ramanujan.\\

	Dado $n \in \N$, sea $x=(4n)!(1103+26390n)$ e $y=(n!)^4396^{4n}$.\\
	
	$\e{div}{x,y,:} = \ev{x} - \ev{y} + \er{:}{x,y}$ (1).\\
	
	Como calculamos $x$ e $y$ en punto flotante tenemos que calcular el error cometido.\\
	
	\underline{Analicemos el error de $x=(4n)!(1103+26390n)$:}\\
	
	Llamamos $w=(4n)!$.\\

	$\ev{x} = \e{mult}{w,1103+26390n,*} = \ev{w}+\ev{1103+26390n}+\er{*}{w,1103+26390n}$\\
	
	Resta calcular el error de $w$ porque para $1103+26390n$ consideramos sólo el error de representación ya que se calcula en enteros (exacto, no hay $overflow$ ($n \leq 2$)).\\
	
	$\Rightarrow \left|\ev{x}\right| \leq \left|\ev{w}\right| + 2u$\\
	
	\underline{Analicemos el error de $y=(n!)^4396^{4n}$:}\\
	
	Llamamos $v=(n!)^4$ e $z=396^{4n}$.\\
	
	$\ev{y} = \e{mult}{v,z,*} = {\ev{v}+\ev{z}+\er{*}{v,z}}$\\
	
	donde,
	
	$\ev{v} = \e{pot}{n!,4,POT} = 4\ev{n!} + ln(n!) 4\ev{4} + \er{POT}{n!,4}$
	
	$\ev{z} = \e{pot}{396,4n,POT} = 4n\ev{396} + ln(396) 4n\ev{4n} + \er{POT}{396,4n}$\\
	
	Como $\ev{4n} = \e{mult}{4,n,*} = \ev{4} + \ev{n} + \er{*}{4,n}$\\
	
	$\Rightarrow \ev{z} = 4n\ev{396} + ln(396)4n(\ev{4} + \ev{n} + \er{*}{4,n}) + \er{POT}{396,4n}$\\
	
	Teniendo toda esta información podemos decir que el error de $y$ es:\\
	
	$4\ev{n!} + ln(n!) 4\ev{4} + \er{POT}{n!,4} + 4n\ev{396} + ln(396)4n(\ev{4} + \ev{n} + \er{*}{4,n}) + \er{POT}{396,4n} + \er{*}{v,z}$\\
	
	$\Rightarrow_{usando\;que\;ln(396)<6} \left|\ev{y}\right| \leq 4\left|\ev{n!}\right| + ln(n!)4u + 76nu + 3u$\\
	
	Finalmente, el error de un término de la sumatoria está acotado por:
	
	\pa

	$\left|\ev{\frac{x}{y}}\right| \leq \left|\ev{x}\right| + \left|\ev{y}\right| + \left|\er{:}{x,y}\right| \leq \left|\ev{(4n)!}\right| + 4\left|\ev{n!}\right| + ln(n!)4u + 76nu + 6u$\\
	
	Queremos realizar el análisis teórico para los primeros tres términos de la sumatoria. Para poder realizarlo, llamamos $a$ $(n=0)$ al primer término,
	$b$ $(n=1)$ al segundo y $c$ $(n=2)$ al tercero.
	
	Analizamos primero el error cometido de realizar $a+b$.\\
	
	$\e{sum}{a,b,+} = \frac{a}{a+b}\ev{a} + \frac{b}{a+b}\ev{b} + \er{+}{a,b}$\\
	
	Analizamos ahora el error de sumar el tercer término ($c$).\\
		
	$\e{sum}{a+b,c,+} = \frac{a+b}{a+b+c}\ev{a+b} + \frac{c}{a+b+c}\ev{c} + \er{+}{a+b,c} =$\\
	
	$\frac{a+b}{a+b+c}(\frac{a}{a+b}\ev{a} + \frac{b}{a+b}\ev{b} + \er{+}{a,b}) + \frac{c}{a+b+c}\ev{c} + \er{+}{a+b,c} =$\\
	
	$\frac{a\ev{a} + b\ev{b} + c\ev{c} + (a+b)\er{+}{a,b}}{a+b+c} + \er{+}{a+b,c} = \ev{a+b+c} = \ev{sum_2}$\\
	
	$\left|\ev{sum_2}\right| \leq \frac{|a||\ev{a}| + |b||\ev{b}| + |c||\ev{c}| + |a+b|\left|\er{+}{a,b}\right|}{|a+b+c|} + \left|\er{+}{a+b,c}\right|$\\
	
	Dado que $a=1103$, $b=\frac{659832}{396^4}$ y $c=\frac{8!*53883}{2^4*396^8}$.\\
	
	Basandonos en nuestra implementación y usando el hecho de que calculamos el error sólo para los $tres$ primeros términos de la sumatoria tenemos:\\
	
	El error de $a$ es el error de represetar $1103$ ya que lo adicionamos al final sin calcularlo.\\
	
	$\left|\ev{b}\right| \leq \left|\ev{4!}\right| + 4\left|\ev{1!}\right| + 82u = $\\
	
	$\left|\ev{1} + \ev{2} + \er{*}{1,2} + \ev{3} + \er{*}{1*2,3} + \ev{4} + \er{*}{1*2*3,4} + \ev{1} + \er{*}{1*2*3*4,1}\right| + 4\left|\e{mult}{1,1}\right| + 82u \leq \left|\ev{2}\right| + \left|\er{*}{1,2}\right| + \left|\ev{3}\right| + \left|\er{*}{1*2,3}\right| + \left|\ev{4}\right| + \left|\er{*}{1*2*3,4}\right| + \left|\er{*}{1*2*3*4,1}\right| + 4\left|\er{*}{1,1}\right| + 82u \leq 93u$\\
	
	$\left|\ev{c}\right| \leq \left|\ev{8!}\right| + 4\left|\ev{2!}\right| + 161u =$\\
	
	$\leq \left|\ev{5} + \ev{6} + \er{*}{5,6} + \ev{7} + \er{*}{5*6,7} + \ev{8} + \er{*}{5*6*7,8} + \ev{24} + \er{*}{5*6*7*8,24}\right| + 4\left|\e{mult}{1,2}\right| + 161u \leq \left|\ev{5}\right| + \left|\ev{6}\right| + \left|\er{*}{5,6}\right| + \left|\ev{7}\right| + \left|\er{*}{5*6,7}\right| + \left|\ev{8}\right| + \left|\er{*}{5*6*7,8}\right| + \left|\ev{24}\right| + \left|\er{*}{5*6*7*8,24}\right| + 4(\left|\ev{2}\right| + \left|\er{*}{1,2}\right|) + 161u \leq 178u$\\
	
	$\Rightarrow$\\
	$\left|\ev{sum_2}\right| \leq \frac{1103u + \frac{659832}{396^4}93u + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}178u + (1103+\frac{659832}{396^4})\left|\er{+}{1103,\frac{659832}{396^4}}\right|}{1103 + \frac{659832}{396^4} + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}} + \left|\er{+}{1103 + \frac{659832}{396^4},\frac{8!*53883}{2^4*396^8}}\right|$\\

	$\leq \frac{1103u + \frac{659832}{396^4}93u + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}178u + (1103+\frac{659832}{396^4})u}{1103 + \frac{659832}{396^4} + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}} + u =$\\
	
	$\frac{2206u + \frac{659832}{396^4}94u + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}178u}{1103 + \frac{659832}{396^4} + \frac{8!*53883}{2^4*396^8}} + u \leq 4u$\\
	
	\pa
	
	Por ultimo, $\pi_2=\frac{\frac{9801}{\sqrt{8}}}{sum_2}$\\
	
	Para calcular el error de $\pi_2$ calculamos el error de $\funcFull{h(k)}{\sqrt{k}}$.\\
	
	$\e{h}{k,\sqrt{ }} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{k}}}{\sqrt{k}}k\ev{k} + \er{\sqrt{ }}{k} = \frac{1}{2\sqrt{k}}\frac{1}{\sqrt{k}}k\ev{k} + \er{\sqrt{ }}{k} = \frac{\ev{k}}{2} + \er{\sqrt{ }}{k}$\\
	
	$\ev{\frac{9801}{\sqrt{8}}} = \ev{9801} - \ev{\sqrt{8}} + \er{:}{9801,\sqrt{8}}$\\
	$\Rightarrow \left|\ev{\frac{9801}{\sqrt{8}}}\right| = \left|\ev{9801}\right| + \left|\frac{\ev{8}}{2}\right| + \left|\er{\sqrt{ }}{8}\right| + \left|\er{:}{9801,\sqrt{8}}\right| \leq \frac{7}{2}u$\\
		
	$\ev{\pi_2} = \e{div}{\frac{9801}{\sqrt{8}},sum_2} = \ev{\frac{9801}{\sqrt{8}}} - \ev{sum_2} + \er{:}{\frac{9801}{\sqrt{8}},sum_2} \leq \left|\ev{\frac{9801}{\sqrt{8}}}\right| + \left|\ev{sum_2}\right| + \left|\er{:}{\frac{9801}{\sqrt{8}},sum_2}\right| \leq \frac{7}{2}u + 5u = \frac{17}{2}u$\\
		
\end{subsection}